Planeten beschrijven banen om sterren en die banen hebben de vorm van een ellips: de eerste wet van Kepler.

In poolcoördinaten beschrijven we dat als volgt: Hierin is e de excentriciteit van de ellips: Met a de halve lange baanas en b de halve korte baanas. We kennen ook de complementaire excentriciteit: Er geldt dus altijd: De omtrek van een planeetbaan is dus ‘simpelweg’ de omtrek van een ellips. In Carthesische coördinaten is de vergelijking van een ellips: Voor het gemak heb ik de oorsprong nu in het middelpunt van de ellips geplaatst. Om de omtrek van de ellips te kunnen berekenen ga ik om te beginnen inzoomen op een infinitesimaal deel van de ellips.

Voor dat infinitesimale stukje booglengte geldt (volgens de stelling van Pythagoras):

Dit ga ik iets anders opschrijven: Voor de totale booglengte, de omtrek van de ellips, is het dan nog slechts een kwestie van integreren: Ik heb dus de afgeleide nodig van de vergelijking van de ellips en daarom ga ik vergelijking (3) differentiëren: Dit ga ik invullen in (6): Om de omtrek van de ellips te berekenen neem ik als integratiegrenzen x = 0 en x = a. Dan heb ik de booglengte van een kwart ellips en daarom moet ik het antwoord vervolgens nog met vier vermenigvuldigen om aan de totale omtrek te komen: Ik stel: Hiermee wordt vergelijking (9): Met behulp van vergelijking (2a) wordt dit:

Deze functie is in deze vorm niet te integreren en daarom wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee kan ik de teller van de integraal als volgt schrijven: Omdat x maximaal de waarde a heeft betekent dit dat u maximaal één is. En e is de excentriciteit van de planeetbaan en die heeft doorgaans een waarde die dichter bij nul ligt dan bij één (in ons zonnestelsel). Daarom vind ik het ruimschoots mooi genoeg wanneer we alleen de termen tot en met u¹⁰ meenemen: Nu heb ik zes integralen en die ga ik afzonderlijk oplossen (met behulp van de tabel met integralen): Daarmee wordt (15): Hierin valt de volgende regelmaat te ontdekken: Ik ga die dubbele faculteiten omschrijven naar een enkele faculteit: Hiermee kan ik vergelijking (18) ook schrijven als volgt: Ik had ook op een andere manier dit punt kunnen bereiken door in vergelijking (12) u simpelweg te vervangen door sin t: Deze integraal staat te boek als de complete elliptische integraal van de tweede soort en die kunnen we ook opzoeken in de tabel met integralen: En hier staat weer precies hetzelfde (iets anders opgeschreven) als het resultaat van vergelijking (21). Het spreekt voor zich dat deze reeks sneller convergeert voor kleine waarden van e dan voor grote waarden van e.

Gelukkig kreeg de Schot James Ivory ooit de briljante inval om te stellen:

Hier staat f (e), maar de inverse functie e (f) is nog boeiender: Dit werk ik verder uit waarbij ik gebruik maak van (24): En dit stop ik in vergelijking (21): Een complexe transformatie brengt ons dan uiteindelijk bij: Behalve dat e² vervangen is door f zit het verschil ook in de noemer van de breuk direct na het sommeringsteken, daar staat geen (2n − 1) maar (2n − 1)². Het gevolg is dat de reeks volgens vergelijking (28) veel sneller convergeert dan de reeks volgens (21), mede omdat f altijd kleiner is dan e², en dus heeft (28) de voorkeur. Dat f altijd kleiner is dan e² laat onderstaande grafiek zien. Horizontaal staat daar b/a uit, dus helemaal links is de ellips een perfecte cirkel en helemaal rechts is de ellips zo plat als een dubbeltje (een lijn), en verticaal staat de verhouding f/e². Verder staat voor het sommeringsteken in vergelijking (21) een minteken en in (28) een plusteken waardoor de reeks van (21) de eindwaarde van bovenaf nadert en de reeks van (28) doet dat van onderaf. Voor de convergentiesnelheid maakt dit uiteraard niets uit.

Dan is het nu een goed moment om ‘echt’ te gaan rekenen (het is eigenlijk altijd een goed moment om te rekenen, maar goed, dat is mijn persoonlijke mening). Mercurius is de planeet met de meest elliptische baan (in ons zonnestelsel): e = 0.2. Voor beide berekeningsmethoden (de reeks volgens (21) of (28)) is dit een eitje en na een paar termen zijn ze het er al op zes cijfers nauwkeurig over eens dat Mercurius per omloop 359.977 miljoen kilometer aflegt (vergelijking (21) heeft hiervoor twee termen van de sommering nodig en (28) slechts eentje).

Pas bij veel excentrischer banen wordt het verschil in convergentiesnelheid tussen beide reeksen significant. Voor het onderstaande plaatje heb ik de lange as tienmaal zo lang gekozen als de korte as hetgeen maakt dat e = 0.995, en verder heb ik de waarden van a en b zo gekozen dat er als antwoord precies één uitkomt. Duidelijk is te zien dat (21) van bovenaf nadert (de rode blokjes) en (28) van onderaf (de blauwe blokjes) en dat (28) dat veel sneller doet.