Een planeet draait zijn rondjes om een ster, in ons geval (de Aarde) is dat de Zon. Tijdens een ronde, een jaar, varieert de afstand tot de Zon als functie van de hoek (in poolcoördinaten, waarbij de hoek gedefinieerd is als de hoek tussen de lijn ster-planeet en een referentielijn, de as van een bepaald coördinatenstelsel), of de y-waarde varieert als functie van de x-waarde (in Cartesische coördinaten, dus een ‘gewoon’ x-y-coördinatenstelsel). Volgens de eerste wet van Newton beweegt een object waar geen krachten op uitgeoefend worden zich met constante snelheid in een rechte lijn. Dat een planeet zich niet in een rechte lijn beweegt komt omdat een ster en een planeet zwaartekracht op elkaar uitoefenen waardoor de planeet van zijn rechte baan afwijkt. En niet een beetje, nee, de planeet gaat rondjes draaien om de ster. Ofschoon we dat de normale gang van zaken vinden zouden we dat ook kunnen duiden onder de noemer drastische verstoringen.

Als er drastische verstoringen zijn dan zijn er natuurlijk ook niet-drastische verstoringen. Dit zijn verstoringen die zich pas over zeer lange tijd doen gelden en waarbij de baanelementen zelf langzaam maar zeker permanent veranderen. Deze variaties heten seculaire verstoringen omdat deze verstoringen zich op tijdschalen afspelen van vele jaren [Latijn: saeculum = eeuw]. Dit is ook de reden dat bij baanelementen altijd de epoche gegeven wordt, de datum waarvoor de baanelementen gelden. Afhankelijk van de nauwkeurigheid die je wenst kun je met die gegevens een jaar later ook nog wel rekenen, maar na een periode van decennia of eeuwen ligt dat heel anders.

Voor het opstellen van de vergelijkingen die deze seculaire verstoringen beschrijven borduur ik voort op de pagina hemelmechanica (ik ga hierna ook refereren aan deze pagina).

Om te beginnen grijp ik terug op de vergelijkingen (23) van de pagina hemelmechanica, die brachten ons dit resultaat: Dit zijn vergelijkingen met allemaal versnellingen. Ik vermenigvuldig met m₁, de massa van de planeet, om krachtenvergelijkingen te krijgen: De functie Θ is de verstoringsfunctie (die bevat de verstorende invloed van een derde object) en de rechterleden van de bovenstaande vergelijkingen zijn daarom respectievelijk de x, y en z-component van de verstorende kracht: En dus: Ik leg nog een assenstelsel aan als volgt: De x^*-as ligt in het verlengde van r (en valt er dus deels mee samen). De y^*-as staat hier loodrecht op (90 graden linksom) en ligt (per definitie) in het x-y-vlak. De z^*-as staat loodrecht op het x^*-y^*-vlak en wijst naar boven (net als de z-as loodrecht op het x-y-vlak staat en ook naar boven wijst).

Ik ben niet zo’n goede tekenaar-in-drie-dimensies, daarom heb ik in bovenstaande figuur een bovenaanzicht getekend. Maar het is belangrijk om je te realiseren dat de x^*-as niet in het x-y-vlak hoeft te liggen, omdat de planeet door de werking van de verstorende kracht boven of onder het x-y-vlak kan gaan bewegen. De planeet krijgt dus een inclinatie i_v ten opzichte van het x-y-vlak als gevolg van de verstorende kracht: De hoek θ blijft, net als in de onverstoorde situatie, de hoek tussen r en de x-as. De hoek i_v is de inclinatie als gevolg van de verstorende kracht. De hoek θ_xy is de projectie van de hoek θ op het x-y-vlak. Het omrekenen van de poolcoördinaten r, i en θ naar x, y en z gaat als volgt: De x^* en y^*-coördinaten zijn te berekenen uit de x-y-z-coördinaten als volgt: De componenten van de verstorende kracht in de x^* en y^*-richtingen zijn dus: De hoek tussen de raaklijn aan de planeetbaan en de x^*-as is ψ: Er geldt dus: Hierin is F_v,v de verstorende kracht en om precies te zijn de component hiervan die werkt in de richting van de snelheid (de eerste index v staat voor verstoring en de tweede index v staat voor de richting van de kracht, in dit geval in de richting van de snelheid v en de richting van de snelheid is altijd in de richting van de raaklijn van de planeetbaan). We moeten dus nog een uitdrukking vinden voor F_v,v want daar weten we nog niets van. De sinus en de cosinus van ψ vonden we al in de vergelijkingen (69) van de pagina hemelmechanica: De verstoringen die op de baan van een planeet inwerken zijn krachten. En krachten manifesteren zich als versnellingen volgens de eerste wet van Newton: Versnelling is de afgeleide van de snelheid naar de tijd: Vergelijking (63) van de pagina hemelmechanica geeft ons de snelheid: De logische volgende stap is dan om dit inderdaad te gaan doen (het bepalen van de afgeleide van de snelheid), waarbij er vanaf nu geen constanten meer bestaan want alle parameters zijn functies van de tijd (behalve natuurlijk de massa’s en de gravitatieconstante G). Ik differentieer daarom de snelheid naar de tijd waarbij zowel r als a functies van de tijd zijn: De versnelling zoals ik die hierboven gevonden heb bestaat uit twee delen, het ene deel is er altijd als gevolg van het simpele feit dat een planeet rondjes draait om de Zon, en het andere deel is het gevolg van de verstorende krachten die de beweging van de planeet beïnvloeden: Oftewel: Daarom ga ik de snelheid nog een keer differentiëren, maar nu met a (de halve lange baanas) als constante (dus de onverstoorde situatie): Door de vergelijking (16) van (13) af te trekken krijg ik de verstorende term, de versnelling die ontstaat als gevolg van storende invloeden (die de halve lange baanas a laten variëren in de tijd): Het bovenstaande ga ik iets anders opschrijven: Even dit tussendoortje: En ik stel: Waarmee (18) tenslotte wordt: Zo zijn we de variatie van a, de halve lange baanas, te weten gekomen. Vervolgens gaan we op zoek naar de variatie van de excentriciteit e. Daarvoor neem ik vergelijking (3b) en vermenigvuldig die met x, en daar trek ik (3a), vermenigvuldigd met y, van af: En de vergelijkingen (5) gebruik ik om hier mee verder te werken: ‘Ergens in den beginne’ was er geen verstorende kracht, oftewel dat was de beginsituatie waarvoor de onverstoorde baanelementen gelden. Toen was de inclinatie (als gevolg van de verstoring) gelijk aan nul en θ_xy was toen gelijk aan θ en r_xy aan r. Of anders gezegd, ik ben hiervoor uitgegaan van een verstoorde baan die een inclinatie heeft ten opzichte van een onverstoorde baan, maar ik kan op ieder moment natuurlijk zeggen dat mijn actuele baan de onverstoorde baan is van waaraf ik de verstoringen ga bepalen. Dan is de inclinatie i_v gelijk aan nul, θ_xy is gelijk aan θ en r_xy gelijk aan r: Deze redenering klinkt wellicht wat gaar, maar stel je voor dat ik vergelijking (23) ga integreren: Kijk, dan springt er ineens een integratieconstante c te voorschijn. Deze integratieconstante wordt bepaald door het moment t = 0 van de integraal van het linkerlid, en op dat moment t = 0 draait de planeet nog ongestoord een baan om de Zon. Het kan best zijn dat de verstorende kracht daarvoor ook al aanwezig was, maar door die verstorende kracht krijgt de planeet continu nieuwe baanelementen en ergens moet een startpunt gekozen worden voor de berekening die we aan het doen zijn. Oftewel, t = 0 is dat startmoment en de baanelementen behorende bij dat moment zijn de onverstoorde baanelementen en is de actuele planeetbaan de onverstoorde baan, en is de integratieconstante c gelijk aan nul.

We pakken de draad weer op bij vergelijking (24): De variatie van a hebben we al gevonden (vergelijking (21)) en die kunnen we dus invullen: Ik knutsel nog wat verder met vergelijking (27) om zo de variatie van e te bepalen: Nu leg ik een (willekeurig gekozen) referentie-as aan vanuit het middelpunt van de Zon (de oorsprong), de rode lijn in onderstaande figuur: Deze referentie-as bevindt zich in het baanvlak en het uiteinde van de as is ‘ergens’ vast verankerd. De hoek θ is de werkelijke anomalie en geeft de actuele hoekpositie aan van de planeet gemeten vanaf het perihelium q. De hoek ω is het argument van het perihelium en geeft de positie van het perihelium aan gemeten vanaf de klimmende knoop. En de hoek χ geeft de positie van het perihelium aan gemeten vanaf de referentie-as. Indien ik de actuele hoekpositie van de planeet meet vanaf de referentie-as, deze hoek noem ik θ^*, dan geldt: Ik kan ook schrijven: Volgens vergelijking (53) van de pagina hemelmechanica kan ik de positie van een planeet schrijven als: Met behulp van (30) kan ik (31) ook schrijven als volgt: Bovenstaande vergelijking ga ik differentiëren naar de tijd waarbij ik de baanelementen als constant beschouw (de onverstoorde situatie): Nu ga ik (32) nog een keer differentiëren, maar dit keer zijn de baanelementen ook functies van de tijd (de verstoorde situatie): Zoals ik al eerder gedaan heb trek ik de bovenstaande twee vergelijkingen van elkaar af om de verstorende termen over te houden: De variaties van a en e kan ik invullen vanuit de vergelijkingen (21) respectievelijk (28) om de vergelijking te vinden die ons in staat stelt de precessie van het perihelium te berekenen, oftewel de periheliumprecessie: Aldus heb ik de vergelijkingen gevonden voor de seculaire verstoringen op respectievelijk de halve lange baanas a, de excentriciteit e en de periheliumhoek χ als gevolg van de inwerking van een verstorende kracht: In plaats van dat er een verstorende kracht aan het werk is kan het ook zo zijn dat het systeem op een bepaalde manier energie verliest. We weten dat arbeid het product is van afgelegde weg en uitgeoefende kracht (in de richting van die afgelegde weg): En dat deze arbeid gelijk is aan de energie die geïnvesteerd moet worden, oftewel: Ik kijk nu nogmaals naar de afleiding volgens vergelijking (18) en ik pik de derde regel er uit: Ik combineer de vergelijkingen (38) en (39): Vervolgens pak ik vergelijking (31) er nogmaals bij: Bovenstaande vergelijking ga ik differentiëren naar de tijd waarbij ik de baanelementen als constant beschouw (de onverstoorde situatie): Nu ga ik (41) nog een keer differentiëren, maar dit keer zijn de baanelementen ook functies van de tijd (de verstoorde situatie): Ik trek wederom de bovenstaande twee vergelijkingen van elkaar af om de verstorende termen over te houden: En hier ga ik vergelijking (40) in invullen: De variaties van a en e (de vergelijkingen (40) respectievelijk (45)) kan ik invullen in (35) om de vergelijking te vinden die ons in staat stelt de periheliumprecessie te berekenen: Weglekkende energie leidt dus niet tot periheliumprecessie en dat is ook wel logisch.

Aldus heb ik de vergelijkingen gevonden voor de seculaire verstoringen op respectievelijk de halve lange baanas a, de excentriciteit e en de periheliumhoek χ als gevolg van energie die op de een of andere manier het systeem verlaat: