DONEER
WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN
LEZINGEN

Home
Nieuw
  • Gravitationele rood-/blauwverschuiving
  • Getijdenkrachten
  • Zijn wij vroeg of laat?
  • De Einstein-Rosen-brug
  • De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
  • De buitenkant van een wormgat
  • De integraal van
    f (x) = (1 − (x/a)2/3)3/2
  • De astroïde
  • Het waarneembare universum
  • Wat is een wormgat?
  • Het traagheidsmoment van twee hemellichamen
  • De tweelingparadox
  • De energie van zwaartekrachtgolven
  • Een dag zonder verjaardagen
  • Het vermogen van zwaartekrachtgolven
  • Tijdsvertraging van een lichtstraal (2e orde benadering)
  • Tijdsvertraging van een lichtstraal (1e orde benadering)
  • Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein
  • De integralen van
    f (x) = xn/(a2 + x2)5/2
  • Een andere manier van leven
  • Een reeks afsplitsen van een functie
  • Afbuiging van een lichtstraal (2e orde benadering)
  • Afbuiging van een lichtstraal (1e orde benadering)
  • Bewerkingen met reeksen
  • De Taylor-reeksen van
    f (x) = x/(a ± x)2
  • De integralen van
    f (x) = 1/((x + a)n (x2 − a2))1/2)
  • De integralen van
    f (x) = cosm (ax)/(1 + cos (ax))n
  • De integralen van
    f (x) = (x2/(a2 − x2))n
  • De massa van de atmosfeer
  • Hyper-Catalan-getallen
  • Een ontmoeting met aliens
  • Ze durven niet
  • Fuss-getallen
  • Ze mogen niet
  • Catalan-getallen
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = ln x
  • De integraal van
    f (x) = cotn (ax) (n = even)
  • De integraal van
    f (x) = tann (ax) (n = even)
  • De integraal van
    f (x) = cotn (ax) (n = oneven)
  • De integraal van
    f (x) = tann (ax) (n = oneven)
  • Ze willen niet
  • De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa
  • De integralen van
    f (x) = xn/(x − a)
  • De integraal van
    f (x) = 1/ln (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot9 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot7 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot5 (ax)
  • Een botsing met een zandkorrel
  • De opwarming van de Aarde
  • Ze kunnen niet
  • De integraal van
    f (x) = cot10 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot8 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot6 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot4 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = eiax exp (ib ecx)
  • De gammafunctie
  • De integraal van
    f (x) = xb/(a2 + x)
  • De integraal van
    f (x) = eiax exp (ib ecx)
  • De integraal van
    f (x) = xb/(a2 + x2)
  • De contourintegraal van
    f (x) = xb/(a2 + x2)
  • Holomorfie van de functie f (z) = zp
  • Het grote filter
  • De integraal van
    f (x) = tan9 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = tan7 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = tan5 (ax)
  • Het getal e met een miljoen decimalen
  • De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort
  • De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort
  • De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort
  • De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)2
  • De integraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)2
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/((a2 + x2) (b2 + x2))
  • De integraal van
    f (x) = 1/((a2 + x2) (b2 + x2))
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(1 + a cos2 x)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(1 + a cos2 x)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(1 + a sin2 x)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(1 + a sin2 x)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)
  • Contourintegralen
  • Integreren van complexe functies
  • Het spectrum van een zwart gat
  • De convergentie van een reeks
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = arctan (ax)
  • Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen
  • De contourintegraal van
    f (x) = sin (ax)/x
  • De integraal van
    f (x) = sin (ax)/x
  • Holomorfie van de functie f (z) = f (at)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
  • Priemgetallen
  • De nulpunten van f (x) = ax − xa
  • De Taylor-reeksen van
    f (x) = b±ax
  • De functie f (x) = ax − xa
  • De integralen van
    f (x) = tann (ax)
  • Wat is groter?
  • Wat is groter?
  • Ze zijn er niet
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2
    • Wiskunde
  • Tabel met afgeleiden
  • Tabel met integralen
  • Tabel met Taylor-reeksen
  • Differentiëren
  • Integreren
  • Integratiemethoden
  • Wiskunde algemeen
  • Machtsverheffen, worteltrekken, logaritme neming
  • Tweedegraads vergelijking oplossen
  • Derdegraads vergelijking oplossen
  • Goniometrie
  • Hyperbolische functies
  • Vergelijkingstabel goniometrische - en hyperbolische functies
  • Vectoren
  • Vraagstukken over vectoren
  • Vraagstukken over tensoren
  • De stelling van Gauss
  • De stelling van Green
  • De stelling van Stokes
  • De Euler-Lagrange-vergelijking
  • Differentiaal geometrie
  • Fourier-analyse
  • Complexe getallen
  • Matrices
  • Involuties
  • De faculteitsfunctie
  • De gammafunctie
  • Bijzondere figuren
  • Boekhouden
  • Raadsels
  • Getallen
  • Boeken over wiskunde te koop
    • Natuurkunde
  • Relativiteitstheorie
  • Astronomie
  • Kwantummechanica
  • Elektriciteit en magnetisme
  • Algemene natuurkunde
  • Boeken over natuurkunde te koop
    • Filosofie
  • De grote vragen in het leven
  • De illusies die wij leven
  • Reizigers naar de werkelijkheid
  • Vertellingen
  • Gedichten over Liefde
  • Wij en buitenaards leven
    • Diversen
  • Sitemap
  • Recent toegevoegde pagina’s
  • Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen
  • Index: personen
  • Index: trefwoorden
  • Notatie en terminologie
  • LaTeX
  • Python code
  • Excel bestanden
  • Fysische gegevens
  • Woordenboek: Nederlands - Engels
  • Woordenboek: Engels - Nederlands
  • Cookiebeleid
    • Natuurkundeclub β’24
  • Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)
  • Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)
    • Alleen voor leden
  • Natuurkundeclub β’24
  • Natuurkundeclub Gℏc
  • Biodanza
  • Resumé Watchers
  • Stamboom
    • Contact

    De integraal van
    f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2

    Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2

    De grafiek van f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)1/2 voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn)

    Taylor

    Deze functie is in deze vorm niet te integreren en daarom wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

    De integraal wordt dan:
    Deze specifieke integraal, de elliptische integraal van de eerste soort, wordt in de literatuur aangegeven met de letter K als volgt:

    De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
    10 termen meegenomen
    Hierboven zie je de grafiek van F (x) waarbij ik tien termen heb meegenomen. Vanaf x = π/2 wordt het een zooitje. In de grafiek hieronder heb ik ingezoomd op het traject van x = 0 tot x = π/2, wederom met tien termen. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één en/of x nadert naar π/2 meer termen meegenomen worden.

    De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
    10 termen meegenomen
    In de tabel met Taylor-reeksen vinden we ook:
    De reeks ziet er nu een stuk simpeler uit, maar het integreren wordt wat lastiger. Voor de overzichtelijkheid schrijf ik een aantal termen voluit. De integraal wordt dan:
    Dit gaan we term voor term integreren. De oplossingen van de integralen van al die sinussen kun je elders vinden in de tabel met integralen. Zo komen we tot de volgende oplossing:

    De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
    10 termen meegenomen
    Hierboven zie je de grafiek van F (x) waarbij ik tien termen heb meegenomen. Deze reeks werkt heel goed over het gehele bereik van x. In de grafiek hieronder heb ik ingezoomd op het traject van x = 0 tot x = π/2, wederom met tien termen. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één meer termen meegenomen worden.

    De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
    10 termen meegenomen
    Ter vergelijking leg ik beide oplossingen op elkaar.

    De grafiek van F (x), het polynoom, voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
    a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
    daaroverheen de grafiek van F (x), met al die sinussen, voor a2 = 0.1 (de oranje lijn),
    a2 = 0.5 (de paarse lijn) en a2 = 0.9 (de grijze lijn), c = 0,
    in beide gevallen 10 termen meegenomen


    Elliptische integralen Eerste soort Tweede soort Derde soort
    (vereenvoudigde vorm)
    Standaardvorm
    Toon uitwerking
    (= deze pagina)
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Compleet
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Complementair
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Complementair
    én compleet
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Toon uitwerking
    Naar de volgende integraal: de integraal van
    f (x) = 1/(1 − a2 sin2 x)3/2
    Naar de vorige integraal: de integraal van
    f (x) = 1/(1 + a cos2 x)
    Tabel met integralen
    Tabel met afgeleiden
    Tabel met Taylor-reeksen
    Differentiëren
    Integreren
    De integraal van
    f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
    De integraal van
    f (x) = 1/(x (−a2 + x2)1/2)
    De integraal van
    f (x) = x ln (ax)
    De integraal van
    f (x) = 1/(ax3 + bx2 + cx + d)1/2
    De integraal van
    f (x) = xp/(x − a)
    De integralen van
    f (x) = xn (ax − b)1/2
    De integralen van
    f (x) = 1/(a2 ± x2)n
    Vectoren, vraagstuk 6
    Vectoren, vraagstuk 51
    Covariante - en contravariante componenten van een vector
    Taylor-reeksen
    De Taylor-reeks van
    f (x) = (a + x)1/3
    Een reeks afsplitsen van
    f (x) = (1 + (px)2)1/2
    Het getal e
    Holomorfie van de functie
    f (z) = ex2
    Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 1: snelheden
    Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 22
    Gravitationele rood-/blauwverschuiving
    Getijdenkrachten
    Zijn wij vroeg of laat?
    De Einstein-Rosen-brug
    De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
    De buitenkant van een wormgat
    De integraal van
    f (x) = (1 − (x/a)2/3)3/2
    De astroïde
    Het waarneembare universum
    Wat is een wormgat?
    Overzichtspagina wiskunde
    Overzichtspagina natuurkunde
    Overzichtspagina filosofie
    Doneer enkele euro’s
    Wetenschappelijke boeken te koop
    Lezingen
    Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026