Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = (1

De integraal van
f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2 voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn)

Taylor

Deze functie is in deze vorm niet te integreren en daarom wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

De integraal wordt dan:

Deze specifieke integraal, de elliptische integraal van de tweede soort, wordt in de literatuur aangegeven met de letter E als volgt:

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen

Hierboven zie je de grafiek van F (x) waarbij ik tien termen heb meegenomen. Vanaf x = π/2 wordt het een zooitje. In de grafiek hieronder heb ik ingezoomd op het traject van x = 0 tot x = π/2, wederom met tien termen. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één en/of x nadert naar π/2 meer termen meegenomen worden.

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we ook:

De reeks ziet er nu een stuk simpeler uit, maar het integreren wordt wat lastiger. Voor de overzichtelijkheid schrijf ik een aantal termen voluit. De integraal wordt dan:

Dit gaan we term voor term integreren. De oplossingen van de integralen van al die sinussen kun je elders vinden in de tabel met integralen. Zo komen we tot de volgende oplossing:

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen

Hierboven zie je de grafiek van F (x) waarbij ik tien termen heb meegenomen. Deze reeks werkt heel goed over het gehele bereik van x. In de grafiek hieronder heb ik ingezoomd op het traject van x = 0 tot x = π/2, wederom met tien termen. Om de reeks nauwkeurig te houden moeten er voor a nadert naar één meer termen meegenomen worden.

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen

Ter vergelijking leg ik beide oplossingen op elkaar.

De grafiek van F (x), het polynoom, voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
daaroverheen de grafiek van F (x), met al die sinussen, voor a² = 0.1 (de oranje lijn),
a² = 0.5 (de paarse lijn) en a² = 0.9 (de grijze lijn), c = 0,
in beide gevallen 10 termen meegenomen

Elliptische integralen	Eerste soort	Tweede soort	Derde soort (vereenvoudigde vorm)
Standaardvorm	Toon uitwerking	Toon uitwerking (= deze pagina)	Toon uitwerking
Compleet	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
Complementair	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
Complementair én compleet	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking

De integraal vanf (x) = (1 − a2 sin2 x)1/2

De integraal van
f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2