Het traagheidsmoment van een homogene ronde ster
Bereken het traagheidsmoment van een homogene perfect-ronde ster.
Massa is een maat voor de weerstand tegen snelheidsverandering.
Mijn massa is ongeveer 85 kilogram, dus als je mij in beweging wilt krijgen, of juist tot stoppen wilt
dwingen, dan zul je 85 kilogram weerstand moeten overwinnen.
En daar zul je even je best voor moeten doen, en daarom spreken we in deze context ook wel over
trage massa of traagheid.
Iets dat draait (of niet draait) heeft ook weerstand tegen snelheidsverandering (in dit geval de snelheid
van het ronddraaien).
Maar hier is nog een extra parameter in het spel, namelijk de afstand tot de rotatie-as.
Wanneer je mij op een draaibaar plateau zet (in het midden) dan zul je veel minder moeite hebben om mij
in beweging te krijgen, dan wanneer je mij in een draaimolen zet waarbij ik op een afstand van enkele
meters van de rotatie-as zit (afgezien daarvan dat je dan ook nog de draaimolen in gang moet zetten).
Deze weerstand heet het traagheidsmoment.
De wiskundige definitie van het traagheidsmoment is:
Of in woorden: van een bepaald voorwerp met massa m moet ieder infinitesimale deelstukje dm vermenigvuldigd
worden met het
kwadraat
van de
loodrechte afstand tot de rotatie-as en vervolgens opgeteld worden voor alle deelstukjes dm.
Met andere woorden: er moet
geïntegreerd
worden over de totale massa m.
We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale
volume):
Waaruit volgt:
Door te
differentiëren ontstaat:
En dit stop ik in vergelijking (1):
Omdat we te maken hebben met een bol ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten.
Voor een stukje dV geldt dan:
Waarmee vergelijking (5) wordt:
De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en
de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene
pool naar de andere.
Ik kan daarom de volgende
integratiegrenzen al invullen:
Voor de loodrechte afstand tot de rotatie-as kan ik schrijven:
Waarmee vergelijking (8) wordt:
En de
integratiegrenzen van
r zijn dan 0 en a (a is de straal van de ster):
Ik begin nu met de eerste
integraal:
Nu is de tweede
integraal aan de beurt:
De oplossing van de
integraal
van cos
3 x kun je vinden in de
tabel met integralen.
Het resultaat wordt dan:
Nu zet ik vergelijking (3) weer in:
Voor het volume van een bol geldt:
In combinatie met vergelijking (15) kom ik zo tot het antwoord:
Dit is uiteraard niets meer of minder dan het traagheidsmoment van een bol (want het betreft een perfect-ronde
ster), niets bijzonders.
Wanneer we echter te maken hebben met een ster die licht afgeplat is aan de polen dan wordt de situatie
ineens een heel stuk gecompliceerder.
Dit vraagstuk was slechts een opwarmertje voor het echte werk (de afgeplatte ster) die in het
volgende vraagstuk aan de orde komt.