Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 86

Gegeven is het vectorveld (in Cartesische coördinaten):

De kromme c is de driehoek met hoekpunten e_x, e_y en e_z, georiënteerd volgens de wijzers van de klok als men c vanuit het punt (1, 1, 1) bekijkt.

Bereken:

Rechtstreeks.
Met de stelling van Stokes.

Het vectorveld F

Rechtstreeks.

Tijdens het uitwerken van dit vraagstuk dien ik in mijn achterhoofd (of voorhoofd) te hebben dat:

Dit gezegd hebbende is de eerste stap het opzoeken van een parametrisering van de kromme, de rand van de driehoek. Ik heb een plaatje gemaakt van de situatie:

De hoekpunten van de driehoek zijn:

Ik splits de kromme c op in drie stukken en ik ga drie richtingsvectoren bepalen:

Als steunvectoren neem ik uiteraard de hoekpunten, en de parametriseringen worden dan:

Hieruit kan ik x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld schrijven als (in drievoud, want de kromme is opgedeeld in drie stukken met aparte parametriseringen):

Vervolgens heb ik drie inwendige producten F ∙ dr uit te rekenen (en dr is iedere keer de richtingsvector van dat deel van de kromme):

En dit brengt ons bij de integraal:
Met de stelling van Stokes.

Ik begin weer met het opzoeken van een parametrisering, en dit keer niet van de kromme maar van het oppervlak dat door de kromme omsloten wordt, oftewel de driehoek D. Als richtingsvectoren neem ik de richtingsvectoren die uit het punt k ‘vertrekken’. Dat zijn r₁ en −r₃. Dan kan ik D beschrijven als volgt:

Echter, op deze manier beschrijf ik de totale tweedimensionale ruimte waar de punten k, l en m zich in bevinden. Ik zal wat beperking aan moeten brengen:

Dit is beter, maar nu beschrijf ik een parallellogram in plaats van een driehoek. Er moet een afhankelijkheid tussen u en v ingebracht worden:

Dit is het ook niet want nu heb ik de beschrijving van een lijn. De afhankelijkheid tussen u en v moet ik ergens anders zoeken:

Dit is de juiste beschrijving van de driehoek D. Ik schrijf D even iets anders op:

Stokes

Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:

Ik ga eerst dA bepalen door het uitwendig product te nemen van de beide richtingsvectoren:

Als ik kijk vanuit het punt (1, 1, 1) naar de driehoek D en er vervolgens een kurkentrekker insteek en die rechtsom draai dan krijg ik inderdaad een vector dA die richting de oorsprong wijst (de kurkentrekkerregel). Nu ga ik de rotatie van het vectorveld bepalen. kennen we als volgt:

Dan wordt het uitwendig product × F:

Uit de parametrisering van D kan ik x, y en z aflezen en daarmee de rotatie schrijven als:

Vervolgens bereken ik het inwendig product van de rotatie met dA:

Zo kom ik tenslotte bij de integraal: