Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De posities van de Lagrange-punten

De posities van de Lagrange-punten

Wat zijn Lagrange-punten en waar bevinden die zich?

Stel je hebt twee objecten die om elkaar heen draaien, bijvoorbeeld de Aarde en de Maan, of de Zon en de Aarde, of een dubbelster. De vraag die Lagrange zich stelde was: is er ergens een derde object toe te voegen aan een dergelijk systeem zodanig dat dit derde object gaat meedraaien met dezelfde omlooptijd als de andere twee objecten? Met andere woorden, als we het Zon-Aarde systeem in gedachten nemen dan zou het gaan om een extra object dat ook rondjes gaat draaien en over ieder rondje, net zoals de Aarde, precies één jaar doet. De positie van het derde object verandert dus niet ten opzichte van de andere twee objecten omdat alle objecten dezelfde omlooptijd hebben. Dergelijke posities zijn de Lagrange-punten.

Hierbij gaan we uit van de volgende twee uitgangspunten:

het derde object heeft een massa die veel kleiner is dan de andere twee objecten zodat het zwaartepunt van het systeem op dezelfde plaats blijft na toevoeging van het derde object,
de objecten beschrijven cirkelvormige banen (in werkelijkheid zijn de planeetbanen ellipsen, maar de afwijking van de perfecte cirkel is vaak gering en dit vereenvoudigt het rekenwerk enorm).

Newton

Als we nog even het Zon-Aarde systeem in gedachten houden dan is er uiteraard ergens een punt P tussen de Zon en de Aarde waar de zwaartekrachten van beide hemellichamen even groot zijn maar tegengesteld gericht. Per saldo is de zwaartekracht daar dus nul. Ik noem de massa van de Zon m₁ en de massa van de Aarde m₂, en de respectievelijke afstanden tot het punt P r₁ en r₂. Ik plaats in het punt P een massa m₃ en die ondervindt, volgens de zwaartekrachtwet van Newton, de volgende zwaartekracht van de Zon:

Hierin is G de gravitatieconstante. De zwaartekracht die m₃ ondervindt van de Aarde is:

Deze krachten zijn in het punt P in grootte aan elkaar gelijk:

Het punt P is wel leuk om uit te rekenen waar het ligt, zoals we net hebben gedaan, maar dit is geen Lagrange-punt. Indien we een object in het punt P plaatsen dan is het een seconde later niet meer in het punt P omdat de andere twee objecten hun baanbeweging vervolgen en het derde object dat niet volgt. Zou het derde object wel de baanbeweging van de andere twee objecten volgen dan ontstaat er een middelpuntvliedende kracht, een centripetale kracht, die het derde object direct uit zijn baan slingert. Lagrange-punten worden nogal eens benoemd als “punten waar de zwaartekracht wegvalt” of iets van die strekking, maar dat is dus onzin. Het punt P dat we net uitgerekend hebben heeft nul en generlei waarde en is zeker geen Lagrange-punt.

Dit gezegd hebbende gaan we nu serieus aan het rekenen. Het eerste dat we willen weten is: waar ligt het zwaartepunt van het systeem? Het zwaartepunt L bevindt zich ergens tussen m₁ en m₂ en we gaan nu uitrekenen waar dat precies is.

In het zwaartepunt van een systeem van massa’s kun je al die massa’s samengevoegd denken en de afstand van het zwaartepunt tot een bepaald referentiepunt maal de totale massa is gelijk aan alle afzonderlijke massa’s maal hun respectievelijke afstanden tot het referentiepunt. In het bovenstaande plaatje heb ik een oorsprong O aangelegd als referentiepunt en wat afstanden aangegeven. Wat ik zojuist beschreven heb in woorden is in formulevorm:

Bovendien geldt:

Door vergelijking (5) te combineren met vergelijking (4) ontstaat:

Ik geef nog even een paar afstanden aan:

Dan kan ik vergelijking (6) ook schrijven als:

Ik had uit de vergelijkingen (4) en (5) ook m₁ kunnen elimineren:

De objecten m₁ en m₂ draaien rondjes om het zwaartepunt L op afstanden a respectievelijk b. Ieder object ondervindt een centripetale kracht die gelijk is aan:

Hierin is r de afstand tot het zwaartepunt. Omdat bovendien geldt (ω is de hoeksnelheid):

Dan kunnen we vergelijking (9) ook schrijven als:

De zwaartekracht die m₂ ondervindt van m₁ is:

En de centripetale kracht die m₂ ondervindt is:

Deze twee krachten houden elkaar in evenwicht:

Met behulp van vergelijking (7) kom ik dan tot:

Deze afleiding kan ik natuurlijk ook doen voor m₁. De zwaartekracht die m₁ ondervindt van m₂ is:

En de centripetale kracht die m₁ ondervindt is:

Deze twee krachten houden elkaar wederom in evenwicht:

Met behulp van vergelijking (8) kom ik dan tot:

En hier komt uiteraard weer hetzelfde uit voor de hoeksnelheid ω. Voor ieder Lagrange-punt dat we gaan vinden moet dus ook gelden:

Kepler

Vergelijking (20) is de geschiedenisboekjes ingegaan als de derde wet van Kepler.

Zou er een Lagrange-punt bestaan op de lijn m₁ - m₂ tussen m₁ en m₂ in?

Voor het gemak heb ik het zwaartepunt L verplaatst naar de oorsprong. De zwaartekracht die m₃ ondervindt van m₁ en m₂ is:

En de centripetale kracht die m₃ ondervindt is:

Deze krachten moeten elkaar in evenwicht houden:

Even een opmerking: strikt genomen zoeken we hier een oplossing van de krachtenwet van Newton die ik hieronder in vier verschillende gedaantes geef (in vectorvorm, want krachten hebben zowel een grootte als een richting):

Een oplossing van deze vergelijkingen is dat objecten cirkelvormige banen om elkaar heen gaan beschrijven. Aan de linkerkant staan de echte krachten, in dit geval de zwaartekracht, en aan de rechterkant staat de bewegingsoplossing. Deze bewegingsoplossing heeft uiteraard ook de dimensie van een kracht (de essentie van een vergelijking is immers dat links en rechts dezelfde ‘dingen’ staan want anders vergelijk je appels met peren) en dat noemen we een schijnkracht. De schijnkracht is geen echte kracht maar een wiskundige abstractie. Wanneer je in een draaimolen zit dan zorgt de draaimolen dat je continu afgebogen wordt van een rechte lijn. Dat de draaimolen aan je trekt is de echte kracht. De centripetale kracht die ‘je naar buiten slingert’ bestaat enkel als wiskundig fenomeen.

Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik vergelijking (23) omschrijven naar:

Soms zit het mee, soms zit het tegen... Er zit nu niets anders op dan alle haakjes weg te werken:

En vervolgens zitten we met een vijfdegraads functie die we op moeten lossen. Een dergelijke functie heeft minstens één nulpunt en die willen we vinden. Ik schrijf vergelijking (25) als volgt:

Oftewel:

Laten we dit eens oplossen voor het Zon-Aarde systeem. Daarvan weten we:

In ons geval geldt:

Vergelijking (26) is niet rechtstreeks op te lossen, maar gelukkig hebben wij, in tegenstelling tot meneer Lagrange, de beschikking over computers. Door dit probleem in een Excel-file te zetten kom ik tot een oplossing en vind ik het eerste Lagrange-punt L₁. Tevens blijkt dat er maar één oplossing is, dus tussen m₁ en m₂ bevinden zich geen andere Lagrange-punten.

De volgende vraag is of er Lagrange-punten bestaan op de lijn m₁ - m₂ die rechts van m₂ liggen?

Net als in vergelijking (21) kan ik weer opschrijven wat m₃ ondervindt aan zwaartekracht van m₁ en m₂. Er vinden wat tekenwisselingen plaats maar verder ziet de vergelijking er hetzelfde uit:

Vergelijking (22) blijft ongewijzigd:

Voor het krachtenevenwicht geldt dus:

Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik dit weer omschrijven:

Vervolgens werk ik de haakjes weg:

Zo hebben we nog een vijfdegraads functie gevonden als vergelijking (26)

Ditmaal met de volgende coëfficienten:

Door dit uit te rekenen met Excel kom ik tot het tweede Lagrange-punt L₂.

Vervolgens kijken we ook nog links van m₁.

De zwaartekracht die m₃ ondervindt is:

Vergelijking (22) blijft ongewijzigd:

Voor het krachtenevenwicht geldt dus:

Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik dit weer omschrijven:

De volgende stap is haakjes wegwerken:

Zo hebben we nog een vijfdegraads functie gevonden als vergelijking (26)

Ditmaal met de volgende coëfficienten:

Dit heb ik ook toegevoegd in mijn Excel-file en dat geeft mij het derde Lagrange-punt L₃.

Ik zet de resultaten voor het Zon-Aarde systeem even in een tabel:

	Ten opzichte van middelpunt m₁	Ten opzichte van zwaartepunt	Ten opzichte van middelpunt m₂
Middelpunt m₁	0.00000000E+00	−4.49333793E+05	−1.49597871E+11	m
Zwaartepunt	4.49333793E+05	0.00000000E+00	−1.49597421E+11	m
Middelpunt m₂	1.49597871E+11	1.49597421E+11	0.00000000E+00	m
L₁	1.48106298E+11	1.48105849E+11	−1.49157250E+09	m
L₂	1.51099424E+11	1.51098975E+11	1.50155355E+09	m
L₃	−1.49597609E+11	−1.49598058E+11	−2.99195479E+11	m
L₁/a		3.29612086E+05
L₂/a		3.36273339E+05
L₃/a		−3.32933023E+05
L₁/b		9.90029424E−01
L₂/b		1.01003730E+00
L₃/b		−1.00000426E+00
L₁/c	9.90029454E−01		−9.97054634E−03
L₂/c	1.01003727E+00		1.00372655E−02
L₃/c	−9.99998248E−01		−1.99999825E+00
Tabel 1

Merk op dat:

het zwaartepunt L ligt op minder dan 450 km van het middelpunt van de Zon, met andere woorden: L ligt in de Zon,
de punten L₁ en L₂ liggen vlakbij de Aarde, als ik stel dat de afstand Zon-Aarde 100% is dan liggen L₁ en L₂ op slechts één procent vanaf de Aarde,
L₃ ligt vanaf de Aarde gezien aan de andere kant van de Zon op nagenoeg dezelfde afstand van de Zon (een fractie dichterbij),
L₃ bevindt zich dan wel een fractie dichterbij de Zon dan het middelpunt van de Aarde (het scheelt 262 km), maar bevindt zich desondanks buiten de baan van de Aarde (het scheelt 637 km).

Verder is bekend:

Als ik van links naar rechts beweeg over de lijn, die m₁ en m₂ verbindt, dan kom ik achtereenvolgens tegen (het punt P waar de zwaartekrachten van beide massa’s elkaar opheffen heb ik aangegeven als “Nul zwaartekracht”):

L₃	−149.598.058	km
Oppervlak m₁	−696.449	km
Middelpunt m₁	−449	km
Zwaartepunt	0	km
Oppervlak m₁	695.551	km
L₁	148.105.849	km
Nul zwaartekracht	149.338.603	km
Oppervlak m₂	149.591.043	km
Middelpunt m₂	149.597.421	km
Oppervlak m₂	149.603.799	km
L₂	151.098.975	km
Tabel 2

De vraag dringt zich uiteraard op (of niet?) of er ergens nog meer Lagrange-punten zijn?

Ik heb m₃ nu op een willekeurige positie gezet. De zwaartekracht die m₃ ondervindt van m₁ is:

En de zwaartekracht die m₃ ondervindt van m₂ is:

Maar nu mag ik deze twee krachten niet zomaar bij elkaar optellen, of aftrekken, omdat ze niet in dezelfde richting werken. Ik ga deze twee krachten ontbinden in componenten in de x-richting en y-richting en ze vervolgens optellen:

Die sinussen en cosinussen kan ik wegwerken als volgt:

Met behulp van de vergelijkingen (7) en (8) kom ik tot:

De centripetale kracht op m₃ werkt langs de lijn door L en m₃. Om een krachtenevenwicht te bereiken moet de zwaartekracht ook langs die lijn werken (maar uiteraard de andere kant op). Dus de x-component en de y-component van de zwaartekracht die op m₃ inwerkt moeten zich verhouden als de x-coördinaat en de y-coördinaat van de positie waar m₃ zich bevindt. Oftewel:

In woorden betekent dit: de afstand van m₁ tot m₃ (de rechterterm) is gelijk aan de afstand van m₂ tot m₃ (de linkerterm) en die afstand noem ik d. Daarmee kan ik de componenten van de zwaartekracht, vergelijkingen (45) en (46), ook schrijven als:

De totale zwaartekracht die m₃ ondervindt wordt dan:

Deze zwaartekracht moet in evenwicht zijn met de centripetale kracht:

Tenslotte maak ik voor de laatste keer gebruik van vergelijking (20):

Indien de massa’s m₁, m₂ en m₃ een perfecte gelijkzijdige driehoek vormen (met zijden c) dan bevindt m₃ zich in een Lagrange-punt. Er zijn twee van zulke driehoeken te vormen: met de top naar boven gericht en met de top naar beneden gericht.

De eerste noemen we L₄ en de tweede L₅. Omdat planeten in ons zonnestelsel tegen de wijzers van de klok in bewegen loopt L₄ voor op de planeet en L₅ loopt achter de planeet aan. En dat is de norm geworden, dus wanneer een planeet ‘de andere kant’ opdraait dan ligt L₄ aan de andere kant zodat hij toch de voorloper is (en L₅ de volger).

Waar liggen L₄ en L₅ precies? De x-positie van L₄ ligt halverwege m₁ en m₂. De afstand van m₁ tot m₂ is c, dus dan is de x-coördinaat (want de oorsprong ligt in het zwaartepunt):

De y-coördinaat (de hoogte van de driehoek) is:

Hetgeen natuurlijk niet verrassend is want we hebben te maken met een driehoek met hoeken van zestig graden. De afstand van L₄ tot het zwaartepunt wordt dan:

En dezelfde afstand geldt natuurlijk ook voor L₅. Het object m₂ draait op een afstand b om het zwaartepunt heen en L₄ en L₅ liggen iets verder weg. Voor het Zon-Aarde systeem bevinden L₄ en L₅ zich 225 km buiten de aardbaan. Geen afstanden om wakker van te liggen maar we zijn nu aan het rekenen en dan willen we het ook goed doen. Toch?

Laat ik alles even samenvatten.

Er zijn vijf Lagrange-punten, punten waar zwaartekracht en centripetale kracht in evenwicht zijn. Drie punten kunnen gevonden worden door het oplossen van de vergelijking:

Voor L₁ geldt:

Voor L₂ geldt:

Voor L₃ geldt:

L₄ en L₅ liggen in een perfecte gelijkzijdige driehoek met m₁ en m₂:

Voor het Zon-Aarde-Maan-systeem ziet het er dan zo uit (het plaatje is niet op schaal, en het Aarde-Maan-systeem heeft op zijn beurt uiteraard ook vijf Lagrange-punten, en die zijn niet ingetekend).