Vectoren, vraagstuk 95
Gegeven het vectorveld:
En het rechthoekige blok B:
Het oppervlak van B geven we aan met ∂B en So is het ondervlak van B met naar beneden wijzende normaal.
-
Bereken:
Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes.
-
Zonder berekening kan de volgende
integraal
worden bepaald:
Doe dat en motiveer het antwoord.
-
Bereken:
Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.
Het vectorveld v
-
Bereken:
Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes.
Wat buitengewoon prettig is bij dit vraagstuk is dat alles recht is en haaks op elkaar staat. De ribben van het blok lopen allemaal evenwijdig aan de x-as, y-as of z-as of vallen er zelfs mee samen. Indien een kromme geparametriseerd is met de booglengte dan is die kromme zelf te beschouwen als een flexibele as die opgedeeld is in allemaal eenheidsintervalletjes zoals dat altijd al het geval is bij de ‘normale’ x/y/z-assen. In dit geval betekent dit dus dat alle ribben inherent geparametriseerd zijn met de booglengte en dat we dit hele vraagstuk door alles rechtstreeks in x en y en z kunnen uitrekenen.
kennen we als volgt:
Dan wordt het uitwendig product
× v:
Voor de richtingsvectoren van de vlakken van dit rechthoekige blok kunnen we de basisvectoren en kiezen. De vectoren dA vormen zich dan middels het uitwendig product van deze basisvectoren en dat worden dus eenheidsvectoren. De vector dA van het ondervlak is:
Het inwendig product van de rotatie met dA wordt:
Dan wordt de integraal:
Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:
Dus als ik ‘een rondje loop’ rondom het ondervlak So en het veld langs de kromme uitreken dan moet er hetzelfde resultaat uitkomen. Dit rondje rondom het ondervlak deel ik op in vier etappes kn, ik ga eerst vanuit de oorsprong (0, 0, 0) naar (0, b, 0), vervolgens naar (a, b, 0), dan door naar (a, 0, 0) en ik eindig weer in de oorsprong (0, 0, 0). Zoals je ziet ga ik met de wijzers van de klok mee want de normaal van het ondervlak is naar beneden gericht (de kurkentrekkerregel). Uitgeschreven in integralen ziet dat er zo uit:
Mijn vier richtingsvectoren op dit traject zijn:
Daarmee kom ik tot de volgende vier inwendige producten:
Tijdens de eerste etappe is x = 0 en wordt de integraal:
Tijdens de tweede etappe is y = b en wordt de integraal:
Tijdens de derde etappe is x = a en wordt de integraal:
Tijdens de vierde etappe is y = 0 en wordt de integraal:
En dit brengt ons (wederom) bij het resultaat:
-
Zonder berekening kan de volgende
integraal
worden bepaald:
Doe dat en motiveer het antwoord.
Het rondje dat ik net gemaakt heb om het ondervlak So is tevens de rand van het totaal van de overige vlakken van het rechthoekige blok B: links + rechts + voor + achter + boven. De rotatie van het vectorveld door die vijf deelvlakken samen is dus ook 2ab2 met naar onder/binnen wijzende normaalvector (net als bij het ondervlak). Wanneer ik echter de kringintegraal uitreken over alle vlakken, zoals hier gevraagd wordt, dan is dat met naar buiten wijzende normaalvector. Daarom zal ik bij de 2ab2 voor de vijf deelvlakken een minteken toe moeten voegen en bij de 2ab2 voor het ondervlak niet. De kringintegraal over alle zes vlakken wordt dan de som van 2ab2 + (−2ab2) en dat is nul. -
Bereken:
Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.
Het blok B heeft zes vlakken (links, rechts, voor, achter, boven en onder) dus dat betekent dat ik zes integralen moet fiksen. Daar gaan we dan.
Onder (z = 0):Links (y = 0):
Voor (x = a):
Rechts (y = b):
Achter (x = 0):
Boven (z = c):
De totale flux door het oppervlak is dan:
Volgens meneer Gauss geldt de stelling van Gauss:
kennen we als volgt:
De divergentie van het vectorveld is:
En dit brengt ons (wederom) bij het resultaat:
Door naar het volgende vraagstuk: covariante - en contravariante componenten van een vector
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 94
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 16
Vectoren, vraagstuk 61
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeks van
De stelling van Stokes
Bernoulli-getallen
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 3: het balletje
Uitleg artikel precessie van Mercurius
Het relativistische impulsmoment van een holle bol
Een lichtstraal bij een massa
Het modelleren van de dichtheid van de Zon
De Boltzmann-verdeling
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen