Vectoren, vraagstuk 74
Veldlijnen van een in poolcoördinaten gegeven vectorveld.
Bekijk het vectorveld:
Noem de parametervoorstelling van een veldlijn:
Bekijk het vectorveld:
-
Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:
-
Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:
- Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.
-
Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:
Voor de snelheid in de richting van r (de tangentiële snelheid) geldt:
Voor de snelheid in de richting van θ (de radiële snelheid) ligt het iets gecompliceerder. We kennen (neem ik aan):
Door deze vergelijking te verbouwen krijg ik:
Samengevat hebben we nu:
-
Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:
Uit de parametervoorstelling van het vectorveld kan ik aflezen dat:
Het vectorveld vHieruit kan ik door integratie r (t) en θ (t) berekenen als volgt:
Door t = 0 te kiezen en het punt (1, 0) in te vullen vind ik de beide constanten:
Zodat de veldlijn tenslotte wordt:
-
Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.
Voor r geldt dat:Hiermee kunnen we θ schrijven als:
Samengevat:
De grafiek van r (θ) = eθ
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 75
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 73
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Gewone integralen versus contourintegralen
Vectoren, vraagstuk 29
Vectoren, vraagstuk 74
Anti-symmetrie in de Riemann-tensor
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeksen van
Wat is groter?
De gammafunctie
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 7: kromming
De invariante lichtsnelheid en tijddilatatie
Alle relativistische transformatievergelijkingen
De Einstein-Rosen-brug
Elektriciteit en magnetisme
Wanneer heb je voor het laatst iets nieuws gedaan?
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen