Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 89

Bereken met behulp van de stelling van Stokes:

Het vectorveld F wordt gegeven door:

De kromme c is de snijkromme van de cilinder C en het vlak V:

Het vectorveld F

De grafiek van x² + y² = 1 (de cilinder C)
Grafiek

De grafiek van 2x + 2y + z = 3 (het vlak V)

Het betreft hier een cilinder dus dat nodigt wel heel erg uit om over te gaan naar cilindercoördinaten:

De parametrisering van een cirkel met straal r in het x-y-vlak (z = 0) is:

De parametrisering van een cirkel met straal r die ‘hangt’ op een hoogte z is:

Voor de snijkromme van de cilinder en het vlak is z echter niet constant:

En dit kunnen we inbrengen in de parametrisering van een ‘scheefhangende cirkel’ (die dus geen cirkel meer is maar een ellips):

Indien de stelling van Stokes niet tot onze beschikking zou staan dan moeten we nu de x, y en z waarden van de parametrisering van c invoeren in de beschrijving van het vectorveld, hetgeen zal leiden tot allerlei varianten van goniometrische functies waarvan enkele tot de derde macht. Vervolgens moeten we daarvan dan het inwendig product nemen met de afgeleide van c waardoor de chaos nog verder toeneemt. En tenslotte dient dat alles ook nog geïntegreerd te worden.

Stokes

Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:

kennen we als volgt:

Dan wordt het uitwendig product Symbool

× F:

En dit schrijf ik uiteraard gelijk om naar cilindercoördinaten:

Ik mag ieder willekeurig vlak kiezen dat door c omsloten wordt en ik kies uiteraard het deel van het vlak V dat door c omsloten wordt. Dan kan ik de parametrisering van c overnemen en maak ik r variabel:

Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee richtingsvectoren aan het oppervlak:

Door het uitwendig product te nemen van deze twee partiële afgeleiden kan ik de vector dA bepalen. En de volgorde is belangrijk want dA moet naar boven wijzen (want de snijkromme is tegen de wijzers van de klok in georiënteerd dus een kurkentrekker steekt naar boven, aldus de kurkentrekkerregel):

De z-component van dA is r en die is altijd positief dus dA wijst inderdaad naar boven. Vervolgens bereken ik het inwendig product van de rotatie met dA:

Dan wordt de integraal:

Ik ben toch wel nieuwsgierig hoe het gelopen zou zijn indien de lijnintegraal rechtstreeks uitgerekend was. Daarom ga ik weer terug naar de parametrisering van c (de ‘scheefhangende cirkel’):

Hieruit kan ik de x, y en z waarden aflezen en daarmee het vectorveld F omschrijven (waarbij ik direct r = 1 invul):

De afgeleide van c is:

Het inwendig product F ∙ dr is:

Dan wordt de integraal:

De oplossing van de integraal van cos⁴ x kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van sin⁴ x kun je ook vinden in de tabel met integralen. Het resultaat wordt dan: