Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = e^-x^2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = e^−x²

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = e^−x²

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van f (x) = e^−ax² voor a = 1.0 (de rode lijn),
a = 1.5 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn)

Voor deze integraal tasten we diep in de trucendoos om tot een oplossing te komen. Ik weet nog niet wat de oplossing is van deze integraal maar die stel ik als volgt:

Vergelijking

De integratievariabele is x maar die kan natuurlijk ieder ander symbool zijn, bijvoorbeeld y. De oplossing van de integraal verandert daar niet door:

Vergelijking

De vergelijkingen (1) en (2) ga ik combineren:

Vergelijking

Vervolgens ga ik vergelijking (3) herschikken:

Vergelijking

Vanaf hier kan ik op twee manieren verder gaan en die zal ik allebei uitwerken. De eerste manier is om te stellen:

Vergelijking

Vergelijking (5) ga ik differentiëren:

Vergelijking

Dit wil ik invullen in vergelijking (4) maar ik zie daar dat wanneer ik naar y integreer dat x dan constant is. En dat heeft weer tot gevolg dat dx dan nul is:

Vergelijking

Nu ga ik de vergelijkingen (5) en (7) in vergelijking (4) invullen:

Vergelijking

En vervolgens ga ik integreren:

Vergelijking

Door dit resultaat weer terug te koppelen naar vergelijking (1) kom ik tot het eindresultaat:

Vergelijking

De tweede manier om verder te gaan vanaf vergelijking (4) is om over te gaan naar poolcoördinaten, want dan geldt:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Dit stop ik allemaal in vergelijking (4):

Vergelijking

En door nu weer te gaan integreren kom ik wederom tot:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor a = 1.0 (de rode lijn),
a = 1.5 (de groene lijn) en a = 2.0 (de blauwe lijn), c = 0

Miniatuur

Naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2

Miniatuur

Naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = x ln ((a + x)/(a − x))

Miniatuur

Tabel met integralen

Miniatuur

Tabel met afgeleiden

Miniatuur

Tabel met Taylor-reeksen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x³ (ax + b)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/cos⁶ (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arcsch (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = cosⁿ (ax)
(n = even)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ

Miniatuur

De integralen van
f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

Miniatuur

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 40

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 85

Miniatuur

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = e^−ax

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

Miniatuur

De stelling van Green

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z) − f₂ (z)

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z) − a

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding hoofdstuk B

Miniatuur

De Lorentz-factor

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026