De integraal van
f (x) = sinn (ax)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = sinn (ax)

De grafiek van f (x) = sinn (ax) voor n = 2 (de rode lijn),
n = 4 (de oranje lijn), n = 6 (de groene lijn),
n = 8 (de paarse lijn) en n = 10 (de blauwe lijn), a = 1
Voor het integreren van deze functie ga ik gebruik maken van partieel integreren:
De integraal wordt dan:
Nu zitten we nog steeds met een integraal opgescheept, maar toch helpt dit ons verder. Laten we eens n = 2 invullen:
Vervolgens ga ik n = 4 invullen en direct het resultaat van n = 2 gebruiken:
En dit resultaat gebruik ik bij n = 6:
Ik ga gelijk door naar n = 8:
En tenslotte n = 10:
De uitdaging is uiteraard om hierin de regelmaat te vinden en op te schrijven. Dat doe ik voor n = 10:
Het dubbele faculteit-uitroepteken betekent dat alleen de oneven of even termen met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:

We kunnen het resultaat nog compacter schrijven als volgt:
Ik ga die dubbele faculteiten omschrijven naar een enkele faculteit:

De grafiek van F (x) voor n = 2 (de rode lijn),
n = 4 (de oranje lijn), n = 6 (de groene lijn),
n = 8 (de paarse lijn) en n = 10 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0