Holomorfie van de functie
f (z) = 1/(az2 + bz + c)

Gegeven de functie:
Het reële deel van de functie noem ik u en het imaginaire deel v:

De grafiek van f (z) voor a = 1, b = 3, c = 1

De grafiek van f (z) voor a = 1, b = 3, c = 1 (genormaliseerd)

De grafiek van |f (z)| voor a = 1, b = 3, c = 1
Ik stel:
Vervolgens ga ik alle partiële afgeleiden bepalen:




Cauchy

Riemann

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen luiden:

Nu is het een kwestie van invullen:

Ik stel:

De complexe afgeleide is:
Ook dit is een kwestie van invullen:

De grafiek van df (z)/dz voor a = 1, b = 3, c = 1
Aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen wordt voldaan, maar zowel de functie als de afgeleide hebben twee polen:
De functie is daarom overal holomorf, behalve voor z = p1 en z = p2.